Dérivation en première : passer de la formule au tableau de variations

La dérivée mesure la variation locale d’une fonction. Dans les exercices, elle sert surtout d’intermédiaire entre une formule et les variations de la fonction initiale.

Identifier la forme avant de dériver

Repérez si l’expression est une somme, un produit, un quotient ou une composée simple. Écrivez la règle utilisée avant de remplacer les éléments. Cette étape empêche d’appliquer terme à terme une règle qui ne convient pas à un produit.

Simplifier l’expression peut aider, mais développer systématiquement n’est pas toujours judicieux. Choisissez la forme qui rend la dérivation et l’étude du signe les plus lisibles.

Étudier le signe de la dérivée

Résolvez f’(x) = 0 puis placez les valeurs critiques et les bornes du domaine dans un tableau. Pour un produit, étudiez le signe de chaque facteur. Pour un quotient, ajoutez les valeurs interdites avant toute conclusion.

Traduire signe en variations

Lorsque f’ est positive, f est croissante ; lorsqu’elle est négative, f est décroissante. Calculez les valeurs de f aux bornes et aux points où la dérivée s’annule afin de compléter le tableau. Attention : ce sont les valeurs de f, pas celles de f’, qui figurent sur la ligne finale.

• Domaine de définition.
• Expression de f’.
• Signe de f’.
• Valeurs de f et variations.

Vérifier graphiquement sans remplacer la preuve

Une courbe ou la calculatrice peut confirmer l’allure attendue et révéler une erreur de signe. Elle ne remplace pas la justification algébrique demandée. Utilisez-la comme contrôle, après avoir construit le tableau.

Le point essentiel : la chaîne logique est toujours domaine, dérivée, signe, puis variations de la fonction.