Suites en terminale : reconnaître la bonne méthode

Les exercices sur les suites deviennent plus simples lorsqu’on identifie d’abord la manière dont la suite est définie et la propriété exacte à démontrer.

Explicite ou récurrente ?

Avec une formule explicite u_n en fonction de n, on peut souvent étudier u_{n+1} − u_n ou considérer une fonction associée. Avec une relation de récurrence u_{n+1} = f(u_n), l’étude passe fréquemment par une propriété héréditaire ou par le signe de f(x) − x.

Écrivez les trois premiers termes pour comprendre le mécanisme, sans prendre ces exemples pour une preuve générale.

Choisir entre différence et quotient

Pour étudier la monotonie, la différence u_{n+1} − u_n est le réflexe le plus robuste. Le quotient u_{n+1}/u_n peut être efficace si les termes sont strictement positifs et si la structure est multiplicative. Vérifiez ces conditions avant de diviser.

Encadrement et récurrence

Pour montrer qu’un intervalle est stable, vérifiez l’initialisation puis supposez u_n dans l’intervalle afin de prouver que u_{n+1} y reste. Distinguez clairement l’hypothèse de récurrence de ce qui doit être démontré.

• Initialisation au bon indice.
• Hypothèse formulée sans la renforcer.
• Hérédité justifiée.
• Conclusion pour tout n concerné.

Déterminer une limite avec prudence

Une suite croissante et majorée converge, mais le théorème ne donne pas directement la valeur de la limite. Si la relation est continue, une limite éventuelle vérifie souvent ℓ = f(ℓ). Résolvez cette équation puis éliminez les valeurs incompatibles avec l’encadrement établi.

Le point essentiel : avant tout calcul, notez le type de définition et la propriété précise à établir.